Utiliser des grands nombres

Le problème des grands nombres

Nous rencontrons souvent des grands nombres, par exemple :

La dette de la France s’élève à 2100 milliards d’euros

Mais qu’est-ce que cela représente ?

Très vite, notre cerveau est incapable d’évaluer de telles quantités.

Quelques outils pour appréhender les grands nombres

Ramener à des ensembles qu’on comprend

Par exemple :

1 000 : nombre de places de ma salle de spectacle favorite

10 000 : le nombre de briques de la façade de l’immeuble d’en face

1 million : partez en voyage de luxe et dépensé 1 000€ par jour. Au bout de 1 000 jours (soit près de trois ans), vous aurez dépensez 1 million.

1 milliard : poursuivez votre voyage de luxe pendant 2 700 ans.

Amusez-vous à comptez les choses qui vous entourent

Combien de personnes sont nées cette année ? Combien d’e-mails ont été envoyés aujourd’hui ? Combien faudrait-il de grains de café pour remplir votre chambre à coucher ? (Quelques réponses sur le Worldometers)

Un exemple : 52 !

Prenons un paquet de 52 cartes et mélangeons-les. Combien de mélanges possibles (d’ordres possibles des cartes) avons-nous ?

Calcul

Le calcul est assez simple : pour la première carte, nous avons 52 possibilités. Ensuite, pour la deuxième carte, il reste 51 possibilités, puisqu’on a déjà utilisé une carte. Pour la troisième carte, il reste 50 possibilités, etc. Les nombre de possibilités total est donc :

52 x 51 x 50 x … x 2 x 1

Ce nombre s’écrit 52 ! (lire « factorielle ^阶乘 52 »)

Valeur

Si on calcule la valeur de ce nombre, on obtient :

80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000

On peut simplifier en utilisant l’approximation suivante : 8 × 10⁶⁷, soit 8 suivit de 67 zéros.

Représentation

Nous voilà bien avancés… Ça fait beaucoup, mais beaucoup comment ? Comment réussir à se représenter un chiffre aussi grand ?

Voici un scénario proposé par Scott Czepiel pour occuper 8 × 10⁶⁷ secondes :

1. Choisissez votre endroit préféré sur l’équateur ^赤道.
2. Faites le tour du monde en suivant l’équateur au rythme de 1 pas tous les milliards d’années.
3. Une fois revenu à votre point de départ, enlevez une goutte d’eau de l’Océan Pacifique, puis recommencez.
4. Quand l’Océan Pacifique est vide, posez une feuille de papier par terre, puis re-remplissez l’océan et recommencez.
5. Quand la pile de feuilles de papier atteint le soleil, jetez-là et recommencez toute l’opération 1000 fois.
6. Vous aurez occupé environ 1/3 des 8 x 10⁶⁷ secondes.

Remarque

Mettons que ces cartes aient été inventées il y a 700 ans, si 10 milliards de personnes (il aurait fallu pour cela employer des extraterrestres) avaient mélangé un parquet de cartes chaque seconde (il faut être rapide) pendant cette période (sans manger ni boire ni dormir ni faire pipi) et que chaque ordre obtenu avait été différent, on aurait obtenu un peu plus de 2 x 10²⁰ combinaisons différentes, soit près de 10⁴⁷ fois moins que le nombre total de possibilités.

Donc, la prochaine fois que vous mélangerez un paquet de cartes, il est possible que vous obteniez un ordre qui n’a encore jamais été obtenu dans toute l’histoire de l’humanité.

Pour aller plus loin

• Petit cours d’autodéfense intellectuelle de Normand Baillargeon
• Worldometers
• Vidéo de Vsauce : Math Magic (anglais)
• Explication de 52 ! (anglais)